Caracterização e estudo de algumas propriedades do método de Newton modificado

Abstract

O problema que consiste em minimizar uma função não linear sem restrições nas variáveis é há muito estudado. Existem vários métodos para o resolver, sendo o de Newton o método clássico e o mais conhecido. Devido às falhas deste método várias modificações têm sido sugeridas. Neste trabalho estuda-se uma modificação específica ao método de Newton que se designa por método de Newton modificado. Após a sua descrição prova-se a convergência global do método pelo menos r-linear. Em seguida prova-se que a matriz associada ao método é, sob certas condições, definida positiva. No que diz respeito à direcção gerada pelo método, prova-se que é do tipo gradiente no sentido de Ortega e Rheinboldt (1970), e que satisfaz uma fracção do decréscimo óptimo, condição esta associada às técnicas de regiões de confiança. Por fim prova-se que a direcção modificada não é ortogonal à direcção de descida máxima.

The nonlinear unconstrained minimization problem has been widely studied. There is a variety of methods to solve it. The best known classical method is the Newton's method. Due to its failures several modi cations have been proposed. In this work a special modi cation, called modi ed Newton method, is considered. We prove that the global convergence to a stationary point is at least r-linear and that the associated matrix is, under suitable conditions, positive de nite. As far as the modi ed search direction is concerned, it's proved that it is gradient-related according to Ortega and Rheinboldt (1970) and satis es a fraction of the optimal decrease. This condition is usually associated with the trust region techniques. Finally we prove that the new direction is bounded away from orthogonality to the negative gradient.