Please use this identifier to cite or link to this item: https://hdl.handle.net/1822/30106

TitleSobre a distância de Hausdorff e a salsicha de Minkowsky
Other titlesAbout the Hausdor distance and the Minkowsky sausage
Author(s)Pinto, Maria Lúcia Pereira Marques
Advisor(s)Santos, Lisa
Miranda, Fernando
Issue date2014
Abstract(s)A distância de Hausdorff definida sobre os subconjuntos compactos de R2 tem provado ser um conceito muito útil no reconhecimento de imagens, justificando que se faça algum investimento na compreensão desta ferramenta e na demonstração de resultados que envolvam esta distância. Nesta dissertação, dado um espaço métrico (X,d), definindo H(X) como o conjunto dos compactos não vazios de X, pretendemos estudar algumas propriedades do espaço métrico (H(X); dH), em que dH é a distância de Hausdor . Para "educar" a nossa intuição sobre esta distância, achamos relevante dispor de um ambiente gráfico em que se possam manipular objetos simples em R2 e explorar situações relacionadas com este conceito. Nesta tese, apresentam-se duas defnições alternativas de distância de Hausdorff em H(X). Uma das definições utiliza o conceito de salsicha-ε de Minkowsky ou de vizinhança- -ε de um conjunto. Restringindo-nos a R2 e para ajudar a compreensão do conceito de convergência de sucessões de conjuntos, introduz-se a definição de convergência segundo de Kuratowski. Prova-se que, quando os conjuntos são convexos, a convergência segundo Kuratowski é equivalente à convergência no espaço métrico em estudo. São abordados aspetos computacionais que permitem ilustrar o conceito de distãncia de Hausdor , sendo possível manipular objetos de R2 de forma simples e construir as suas vizinhanças-ε . Os objetos considerados são pontos, segmentos de reta e linhas poligonais. Constrói-se uma função que permite determinar a distância de Hausdorff entre dois objetos usando o conceito de salsicha-ε de Minkowsky. O algoritmo usado para a construção desta função é fundamentado num conjunto de resultados enunciados e demonstrados nesta tese.
The Hausdorff distance, defined in the compact subsets of R2, has proven to be a very useful concept in image recognition, justifying some investment in the understanding of this tool and in the proof of results involving this distance. In this dissertation, given a metric space (X; d), de ning H(X) as the set of compact and nonempty subsets of X, we intend to study some properties of the metric space (H(X); dH), where dH is the Hausdorff distance. In order to "educate" our intuition about this distance, we recognized it would be relevant to have a graphical user interface in which we can manipulate simple objects of R2 and explore situations related to this concept. In this thesis we present two alternative definitions of the Hausdorff distance in H(X). One of the definitions uses the concept of Minkowski ε-sausage or ε-neighborhoud of a set. We restrict ourselves to R2 and, to help in the comprehension of the concept of convergence of sequences of sets, we introduce the definition of Kuratowski convergence. We prove that, when the sets are convex, the Kuratowski convergence is equivalent to the convergence in the metric space under study. Computational aspects that allow to illustrate the Hausdorff distance are discussed, being possible to manipulate objects in R2 in an easy way and to construct their ε- neighbourhoods. The objects considered are points, line segments and polygonal lines. We construct a function that allows us to compute the Hausdorff distance between two objects, using the concept of Minkowski ε-sausage. The algorithm used in the construction of this function is justified by a set of results stated and proved in this thesis.
TypeMaster thesis
DescriptionDissertação de mestrado em Ciências - Formação Contínua de Professores (área de especialização em Matemática)
URIhttps://hdl.handle.net/1822/30106
AccessOpen access
Appears in Collections:BUM - Dissertações de Mestrado
DMA - Dissertações de mestrado

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