Epidemiological models and optimal control theory - Applications to marketing and computer viruses transmission

Abstract

Epidemiological models and Optimal Control Theory are closely interrelated, inasmuch as the development of control interventions that could help to perceive and minimize the spread of infection diseases is a pressing need. However, the application of these two subjects can be extended to other scientific domains apart from health. In this respect, this dissertation takes advantage of the foundations of Mathematical Epidemiology and Optimal Control Theory to study the dynamics of Viral Marketing within a certain population and, with less detail, Computer Viruses Transmission into network systems. Due to the fierce marketing competition, not all the marketing campaigns become viral, and formulate strategies that could leverage traditional marketing campaigns is not a trivial task. In this regard, since the process of diffusing Viral Marketing campaigns through social networks can be modeled under concepts of Mathematical Epidemiology and being strategy the keyword, the benefits of Optimal Control Theory on the diffusion of a real viral advertisement are studied and control strategies to maximize the spread of viral messages with low cost are investigated and proposed in optimal time windows. Numerical methods based on the Pontryagin’s Maximum Principle (indirect methods) and methods that treat the Optimal Control problem as a nonlinear constrained optimization problem (direct methods) are tested and compared, using different numerical solvers. In an introductory way, Computer Viruses Transmission and its dynamics are briefly studied by using epidemiological modeling over networks. In addition, an R software package related to the mathematical modeling of infectious diseases is discussed and the propagation of computer viruses within a network system is illustrated.

O desenvolvimento de políticas de controlo é crucial para perceber e minimizar a propagação de doenças infeciosas. Sob este pressuposto, os modelos epidemiológicos e a Teoria do Controlo Ótimo surgem, cada vez mais, intimamente relacionados. Todavia, a aplicação destes domínios científicos pode ser estendida a outras áreas do conhecimento. Neste contexto, a presente dissertação estuda não só as dinâmicas do Marketing Viral no seio de uma população, recorrendo a fundamentos de Epidemiologia Matemática e à Teoria do Controlo Ótimo, mas também, com menor enfoque, a Transmissão de Vírus Informáticos em sistemas em rede. Atendendo à crescente competitividade dos mercados, nem todas as campanhas de marketing se tornam virais. Para além disso, a conceção de estratégias de marketing que, por sua vez, permitam colmatar as carências das campanhas tradicionais pode revelar-se uma tarefa bastante complexa. Sob evidências científicas de que o processo de difusão de campanhas de Marketing Viral pode ser modelado sob conceitos de Epidemiologia Matemática, são estudadas as potencialidades da Teoria do Controlo Ótimo na disseminação de um campanha real de marketing. Mais ainda, são discutidas e propostas estratégias de controlo para maximizar a difusão de mensagens virais a um baixo custo. São, igualmente, testados e comparados métodos númericos baseados no Princípio do Máximo de Pontryagin (métodos indirectos) e, por outro lado, métodos que tratam um problema de Controlo Ótimo como um problema de otimização não linear com restrições (métodos diretos). No que concerne à Transmissão de Vírus Informáticos, a sua dinâmica de propagação é analisada, de uma forma puramente introdutória, sob pressupostos relativos à modelação epidemiológica em redes. Para isso, é explorado um pacote do software R dedicado à modelação de doenças infeciosas, permitindo ilustrar a propagação de vírus informáticos num dado sistema.