Exploring paraconsistent logics for quantum programs

Abstract

Superconducting quantum circuits are a promising model for quantum computation, al though their physical implementation faces some adversities due to the hardly unavoidable decoherence of superconducting quantum bits. This problem may be approached from a formal perspective, using logical reasoning to perform software correctness of programs executed in the non-ideal available hardware. This is the motivation for the work devel oped in this dissertation, which is ultimately an attempt to use the formalism of transition systems to design logical tools for the engineering of quantum software. A transition system to capture the possibly unexpected behaviors of quantum circuits needs to consider the phenomena of decoherence as a possible error factor. In this way, we propose a new family of transition systems, the Paraconsistent Labelled Transition Systems (PLTS), to describe processes that may behave differently from what is expected when facing specific contexts. System states are connected through transitions which simultaneously characterize the possibility and impossibility of that being the system’s evolution. This kind of formalism may be used to represent processes whose evolution is impossible to be sharply described and, thus, should be able to cope with inconsistencies, as well as with vagueness or missing information. Besides giving the formal definition of PLTS, we establish how they are related under the notions of morphism, simulation, bisimulation and trace equivalence. It is a common practice to combine transition systems through universal constructions, in a suitable category, which forms a basis for a process description language. In this dis sertation, we define a category of PLTS and propose a number of constructions to combine them, providing a basis for such a language. Transition systems are usually associated with modal logics which provide a formal set ting to express and prove their properties. We also propose a modal logic, more specifically, a modal intuitionistic paraconsistent logic (MIPL), to talk about PLTS and express their properties, studying how the equivalence relations defined for PLTS extend to relations on MIPL models and how the satisfaction of formulas is preserved along related models. Finally, we illustrate how superconducting quantum circuits may be represented by a PLTS and propose the use of PLTS equivalence relations, namely that of trace equivalence, to compare circuit effectiveness.

Os circuitos quânticos que operam qubits supercondutores são um modelo promissor para a arquitetura de computadores quânticos. No entanto, a sua implementação física pode tornar-se ineficaz, devido a fenómenos de decoerência a que os qubits em questão estão altamente sujeitos. Uma possível abordagem a este problema consiste em empregar a lógica e as suas ferramentas para a correção de programas a executar nestes dispositivos. A proposta desta dissertação é que se utilize o formalismo dos sistemas de transição para modelar e descrever o comportamento dos circuitos quânticos, que, por vezes, pode ser imprevisível. Para tal, considera-se a decoerência de qubits como um possível fator de erro nas computações. Assim surge uma nova família de sistemas de transição, os Paraconsistent Labelled Transition systems (PLTS), como um modelo para descrever processos que, em determinados contextos, se comportam de forma diferente do que é esperado. Os estados de um PLTS estão conectados por transições que caracterizam, simultaneamente, a possibilidade e a impossibilidade de o sistema evoluir transitando de um estado para o outro. Este é um modelo em que a informação acerca das transições pode ser incompleta ou mesmo contraditória. Além da definição formal dos PLTS, são também sugeridas, como relações entre PLTS, as noções de morfismo, simulação, bissimulação e equivalência por traços. Muitas vezes, os sistemas de transição são combinados através de construções universais numa categoria adequada, de forma a definir uma álgebra de processos. Também neste trabalho é definida uma categoria de PLTS e são propostas algumas construções, típicas nas álgebras de processos, para os combinar. Os sistemas de transição são geralmente associados a lógicas modais, que permitem expressar e provar as suas propriedades. A definição dos PLTS conduziu à definição de uma lógica modal, MIPL, que permitiu determinar de que forma as relações de equivalência definidas para PLTS, e estendidas para modelos da logica MIPL, se refletem na preservação da satisfação de fórmulas sobre os modelos relacionados. Por fim, propõe-se utilizar PLTS para a representação de circuitos quânticos e comparar a eficácia dos circuitos através da relação de equivalência por traços.