Advances in general relativistic elasticity: a mathematical approach

Abstract

In recent years there has been increasing consideration of and interest in general relativistic elasticity. In this framework, the elasticity difference tensor has been introduced in the literature by Karlovini and Samuelsson (2003) [35]. This tensor contains information about the space-time connection and the material metric. In this thesis, a mathematical analysis is presented for the elasticity difference tensor. Some of its properties are investigated and a tetrad formulation is given for this tensor. Furthermore, the elasticity difference tensor is decomposed along the eigenvectors of the pulled-back material metric, thereby obtaining three second order tensors. The following eigenvalue-eigenvector problem is carried out: It is studied under which conditions the eigenvectors of the pulled-back material metric remain also eigenvectors for those three second order tensors. The corresponding eigenvalues are also presented. Another topic which is investigated in this thesis is to consider two conformally related material metrics and study the consequences on relativistic elastic quantities, such as the constant volume shear tensor, the energy-momentum tensor and the elasticity difference tensor. Relations between these objects associated with both material metrics are obtained and the previously mentioned eigenvalue-eigenvector problem is studied in this context. Due to the fact that neutron stars are the objects of study in astrophysical problems in general relativistic elasticity, and since neutron stars can be modelled by spherically and axially symmetric metrics, the results are applied to spherically symmetric spacetimes and to a particular class of axially symmetric space-times. Moreover, existing results for non-static spherically symmetric space-times with a flat material metric are generalized by considering a non-flat material metric conformally related to the flat one. Thereby the Einstein field equations are rewritten for the new configuration.

A área de elasticidade em relatividade geral tem, recentemente, despertado interesse na comunidade científica, traduzido no aparecimento de trabalhos publicados. Neste contexto, o “elasticity difference tensor” foi introduzido na literatura por Karlovini e Samuelsson (2003) [35]. Este tensor contém em si informação sobre a conexão do espaço-tempo e sobre a métrica material. Na presente tese apresenta-se um estudo matemático sobre o “elasticity difference tensor”: são exploradas algumas propriedades; obtém-se uma formulação para este tensor em termos de um tetrado; o “elasticity difference tensor” é decomposto ao longo dos vectores próprios do “pull-back” da métrica material, obtendo-se desta forma três tensores simétricos de segunda ordem. Para estes tensores são estudadas as condições para que os vectores próprios da métrica material permaneçam como vectores próprios para os mesmos tensores. Também se apresentam os valores próprios correspondentes. Um outro tema abordado nesta tese é o seguinte: Considerando duas métricas materiais conformemente relacionadas, são estudadas as consequências em quantidades elásticas, sendo as mais relevantes o “constant volume shear tensor”, o tensor de impulsão-energia e o “elasticity difference tensor”. Neste contexto são obtidas relações entre estes objectos associados às duas métricas e é explorado o problema de valores e vectores próprios, descrito anteriormente. Devido ao facto de as estrelas de neutrões serem objecto de estudo na elasticidade relativista e estas serem modeladas por métricas esfericamente simétricas e métricas simétricas em relação a um eixo, os resultados são aplicados a espaços-tempo representados por estas métricas. Nesta tese também se expõem os resultados obtidos por generalização de resultados existentes para espaços-tempo não-estáticos e esfericamente simétricos com métrica material plana, considerando uma métrica material não plana. Também são reescritas as equações de Einstein para esta nova configuração.