Utilize este identificador para referenciar este registo: https://hdl.handle.net/1822/23212

TítuloOn the future stability of cosmological solutions of the Einstein-nonlinear scalar field system
Autor(es)Alho, Artur Carlos Ferreira
Orientador(es)Mena, Filipe C.
Natário, José Maciel
Data3-Dez-2012
Resumo(s)This thesis concerns with the future asymptotic stability of cosmological solutions to the Einstein-Field-Equations with a minimally coupled nonlinear scalar field. To do this, we shall take two distinct routes which are the main reason for the structure of this thesis. More precisely, in a first part we shall consider perturbations of (at) spatially homogeneous and isotropic spacetimes. This will consist in an analysis of covariant and gauge-invariant linear scalar perturbations, and the exponential decay of fully nonlinear perturbations. In the linear stability analysis, we start by deducing the set of evolution equations for density inhomogeneities when multiple interacting nonlinear scalar fields are present. Then, using the decomposition into scalar harmonics we study the system qualitatively by applying techniques from the theory of dynamical systems. The cases of a single scalar field with exponential, quadratic and quartic potentials are studied in detail. In particular we prove a cosmic no-hair result for power-law inflation and show that homogenization occurs in models of chaotic and new inflation. We then extend the analysis to two scalar fields, and the particular situation when each scalar field has independent exponential potentials is analysed, resulting in a linear cosmic no-hair result for assisted power-law inflation. A frame representation is then used to derive a first-order quasilinear symmetric hyperbolic system for the Einstein-nonlinear scalar field system. This procedure is inspired by similar evolution equations introduced by Friedrich to study the Einstein-Euler system, and it is the first step for studying the exponential decay of nonlinear perturbations for which we derive preliminary results. The second part of the thesis concerns with the simplest inhomogeneous scalar field solutions, namely within the class of spherically symmetric spacetimes. We generalize Christodoulou's framework, developed to study the Einstein-scalar field equations with vanishing cosmological constant Ʌ, by introducing Ʌ > 0. As a first step towards the Einstein-scalar field equations with positive cosmological constant, and in order to gain insight into its nonlinearity, we start by solving the wave equation in de Sitter spacetime. We obtain an integro-differential evolution equation which we solve by taking initial data on a null cone. As a corollary we obtain elementary derivations of expected properties of linear waves in de Sitter spacetime: boundedness in terms of (characteristic) initial data, and a Price law establishing uniform exponential decay, in Bondi time, to a constant. Afterwards we study the Einstein-scalar field system with positive cosmological constant and spherically symmetric characteristic initial data given on a truncated null cone. We prove well-posedness, global existence and exponential decay in (Bondi) time, for small data. From this, it follows that initial data close enough to de Sitter data evolves to a causally geodesically complete spacetime (with boundary), which approaches a region of de Sitter asymptotically at an exponential rate; this is a non-linear stability result for de Sitter within the class under consideration, as well as a realization of the cosmic no-hair conjecture.
Nesta tese debruçamo-nos sobre a estabilidade assimptótica no futuro de soluções cosmológicas das equações de campo de Einstein com um campo escalar não-linear minimamente acoplado. A tese divide-se em duas partes. Numa primeira parte consideramos perturbações de espaços-tempo espacialmente (planos) homogéneos e isotrópicos, que consiste na análise de perturbações lineares escalares covariantes e invariantes de gauge e no decaimento exponencial de perturbações não-lineares. Na estabilidade linear, começamos por deduzir as equações de evolução de perturbações na densidade de matéria para N campos escalares que interagem entre si. De seguida, usando a decomposição em harmónicos escalares, estudamos qualitativamente o sistema de equações resultante usando métodos da teoria de sistemas dinâmicos. Os casos de um único campo escalar com potencial exponencial, quadrático e quártico são então estudados em detalhe. Em particular, provamos um resultado da conjetura cósmica sem cabelo, para inflação do tipo lei da potência e mostramos que existe homogeneização em modelos de inflação caótica e nova inflação. A analise e então alargada para o caso de dois campos, e em particular, na situação em que cada um dos campos tem um potentical exponencial, provando-se um resultado linear da conjetura cósmica sem cabelo para inflação assistida do tipo lei da potencia. Por fim, utilizamos uma representação de referenciais ortonormados para deduzir um sistema de primeira ordem simétrico e hiperbólico para o sistema de Einstein-campo escalar não-linear. Este procedimento e inspirado em equações de evolução introduzidas por Friedrich no estudo do sistema de Einstein-Euler, e é o primeiro passo em direção ao estudo do decaimento exponencial de perturbações não-lineares, para o qual obtemos resultados preliminares. Na segunda parte da tese consideramos as soluções nao-homogeneas mais simples com um campo escalar, nomeadamente a classe de espacos-tempo esfericamente simétricos. Para tal, generalizamos o método de Christodoulou para o sistema de Einstein-campo escalar sem constante cosmológica Ʌ, introduzindo Ʌ > 0. Como primeiro passo em direção ao estudo do sistema de Einstein-campo escalar com constante cosmológica positiva, e de modo a entender as nao-lineariedades, começamos por resolver a equação de onda no espaco-tempo de de Sitter. Obtemos uma equação de evolução integro-diferencial que resolvemos dando dados iniciais num cone de luz futuro. Como corolário obtemos as seguintes propriedades elementares de ondas lineares em de Sitter: a solução é limitada em termos dos dados iniciais (característicos) e verifica-se uma lei de Price estabelecendo decaimento uniforme, na coordenada temporal de Bondi, para uma constante. De seguida estudamos o sistema de Einstein-campo escalar com constante cosmológica positiva em simetria esférica, com dados iniciais característicos num cone de luz truncado. Provamos que o problema é bem posto, existência global e decaimento exponencial (no tempo de Bondi) de soluções para dados pequenos. Destes resultados, tem-se então que para dados iniciais suficientemente perto dos dados de de Sitter, estes dão origem a um espaço-tempo geodesicamente completo (com fronteira), que se aproxima de de Sitter a uma taxa exponencial; Este é um resultado de estabilidade não-linear para de Sitter dentro da classe de soluções esfericamente simétricas, assim como uma demonstração da conjetura cósmica sem cabelo.
TipoTese de doutoramento
DescriçãoTese de doutoramento em Ciências (área de especialização em Matemática)
URIhttps://hdl.handle.net/1822/23212
AcessoAcesso restrito UMinho
Aparece nas coleções:BUM - Teses de Doutoramento
DMA - Teses de doutoramento

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