Equações diferenciais parciais não lineares de primeira ordem e aplicações

Abstract

Neste trabalho, apresentamos o método das caraterísticas sem recorrer a perspetivas geométricas e lidando, diretamente, com equações diferencias parciais de primeira ordem não lineares. Abordamos as equações de Hamilton-Jacobi através do método das caraterísticas com interesse na determinação de soluções suaves. Resolvemos a equação eikonal no contexto da ótica geométrica e o problema de Kepler por um processo, invulgar, em que usamos uma equação de Hamilton-Jacobi para integrar as equações do movimento dos dois corpos. Consideramos a equação de Hamilton-Jacobi-Bellman, entrando na Teoria de Controlo Ótimo, onde, expomos o método da programação dinâmica na resolução de um problema de controlo ótimo, em tempo contínuo, num intervalo de tempo finito. Finalizamos com uma aplicação deste método na resolução de um problema de controlo ótimo de um tratamento de quimioterapia, resolvido por Panetta e Fister em [16] usando técnicas diferentes. Concluímos que os nossos resultados obtidos através da aplicação do método da programação dinâmica coincidem com os resultados apresentados em [16].

This study presents the method of characteristics without using of geometric perspectives, dealing directly with nonlinear first order partial differential equations. We approach the Hamilton-Jacobi equation through the method of characteristics, aiming to determine smooth solutions. We solve the eikonal equation in the context of geometrical optics and Kepler's problem through an unusual process using the Hamilton-Jacobi equation to integrate the two-body equations of motion. We consider the Hamilton-Jacobi-Bellman equation within Optimal Control Theory, for which we expose the dynamic programming method in the resolution of an optimal control problem, in continuous time, in a nite time interval. This work closes with the application of this method to the resolution of an optimal control problem of a chemotherapy treatment, solved by Panetta and Fister in [16] using di erent resolution techniques. We conclude that the our results obtained through the application of the dynamic programming method are identical to those presented in [16].