Simulação de Monte Carlo de sistemas óticos de alta qualidade, utilizando distribuições de dados reais para processos de produção

Abstract

Durante o desenvolvimento de um sistema ótico, na fase do Design para a produção, variam-se os parâmetros (características) de uma lente, definidos de acordo com as tolerâncias assumidas para cada parâmetro no processo de produção da lente, e verifica-se o desempenho do produto ”as-built”. A atribuição de tolerâncias tem como objetivo determinar para que valores os parâmetros da lente minimizam os custos de produção e mantêm o desempenho pretendido do sistema ótico. As distribuições de probabilidade são úteis para a escolha de tolerâncias adequadas e para simular o desempenho esperado do sistema ótico real, por intermédio das simulações Monte Carlo. O objetivo principal deste estudo é ajustar distribuições de probabilidade às características das lentes e desenvolver modelos para a previsão da espessura da lente na produção em série. Para isso, efetuaram se medições do diâmetro, do erro de centragem e da espessura de vários tipos de lentes. No final, compararam-se as previsões efetuadas com as simulações de Monte Carlo para perceber que metodologia estava mais próxima das medições realizadas. Para o ajuste das distribuições de probabilidade foram usados quatro métodos de estimação pontual dos parâmetros: o método de máxima verosimilhança (MMV), o maximum goodness-of-fit (MGOF), o método dos momentos (MM) e o método da correspondência dos quantis (MCQ). Para as distribuições com melhor desempenho, foram geradas amostras por bootstrap, com a mesma dimensão que as originais, para estimar os parâmetros e a respetiva incerteza associada. Em seguida, para perceber que variáveis apresentavam maior relevância para a previsão, analisaram se as correlações entre as características da lente e os parâmetros da distribuição, através do coeficiente de Pearson, para eleger as variáveis a incluir nos modelos. O método de reamostragem, Cross-validation, foi usado para escolher o melhor modelo para a previsão. Por fim, concluiu-se que as distribuições de probabilidade associadas às medições das diferentes características da lente diferiram entre si. Para o caso da espessura, variaram de acordo com a tolerância associada à lente. Para esta característica, a distribuição apresentava-se, maioritariamente, à direita do valor nominal da lente. Assim sendo, constatou-se que as simulações de Monte Carlo implementadas no software utilizado pela empresa conduziriam a uma perceção distorcida dos valores da espessura, uma vez que os dados gerados por este método eram provenientes de uma distribuição Normal truncada, centrada no valor nominal e dentro do intervalo da tolerância.

During the development of an optical system, in the Design for production phase, the parameters of a lens are varied, defined according to the tolerances assumed for each one parameter the lens production process, and the performance of the as-built product is checked. The purpose of assigning tolerances is to determine the values of lens parameters that minimise production costs and maintain the desired performance of the optical system. Probability distributions are useful for selecting appropriate tolerances and for simulating the expected performance of the real optical system using Monte Carlo simulations. The main objective of this study is to fit probability distributions to the characteristics of lenses and to develop models for predicting lens thickness in serial production. To this end, measurements were taken of the diameter, centering error and thickness of different types of lenses. Then, the predictions made were compared with Monte Carlo simulations to see which was closest to the measured values obtained. Four estimation methods were used to fit the probability distributions: maximum likelihood, maximum goodness-of-fit, moments matching and quantile matching estimation. For the distributions with the best performance, bootstrap samples of the same size as the originals were generated to estimate the parameters and their associated uncertainty. Next, to understand which variables were most relevant to the prediction, the correlations between the lens characteristics and the distribution parameters were analysed using the Pearson coefficient, which was used to identify the variables to be included in the models. In addition, resampling methods such as cross-validation, were used to select the best model for prediction. Finally, it can be concluded that the probability distributions associated with the measurements of the different lens characteristics differed from each other. As far as the thickness of the lens is concerned, they varied according to the tolerance assigned to the lens. For this characteristic, the distribution was mostly to the right of the nominal value of the lens. Therefore, the results of the Monte Carlo simulations show that the software used by the company would give a biased perception of the thickness values, as the data generated by this method would be from a truncated normal distribution, centred on the nominal value and within tolerance.