Application of pseudospectral methods for minimum lap time optimal control problems

Abstract

As corridas de automóveis são caraterizadas por uma enorme competição entre os construtores de au tomóveis e os pilotos. De facto, neste desporto, poucos milissegundos são suficientes para ganhar ou perder uma corrida. Para além das caraterísticas do carro e perícia do condutor, as condições da pista são essenciais para a otimização da perfomance do carro em pista. Neste contexto de aplicação, é crucial encontrar as trajetórias ótimas, minimizando o tempo de volta resolvendo problemas de minimização do tempo de volta. Estes são, normalmente, abordados através de problemas de controlo ótimo cuja solução numérica é matematicamente complexa. Esta dissertação apresenta um estudo sobre os fundamentos matemáticos relacionados com os problemas de controlo ótimo e os métodos de resolução dos problemas de tempo mínimo de volta. Para o efeito, foram considerados métodos de colocação direta, permitindo a transformação do problema de controlo ótimo num problema de programação não linear. Os métodos es pecíficos utilizados para a colocação ortogonal direta incluem Legendre-Gauss, Legendre-Gauss-Lobatto e Legendre-Gauss-Radau, sendo que os métodos de Legendre-Gauss e Legendre-Gauss-Radau foram com parados em termos do seu desempenho na resolução do problema de controlo ótimo para otimimização da trajetória. Os resultados obtidos com cada um dos métodos foram analisados, permitindo compreen der as diferenças em termos de tempo de execução, do número de iterações necessárias para que o Problema do Controlo Ótimo encontre uma solução ótima (quando as soluções convergem) e do erro global.

Car racing are characterized by an enormous competition between car manufacturers and pilots. In fact, for this motor sport, few milliseconds are enough to win or lose a race. Besides the car characteristics, race track conditions are crucial for the optimization of the vehicular performance in a particular compe tition scenario. In this application field, is crucial to find optimal trajectories for race cars on racetracks, minimizing the lap time through Minimum-Lap-Time planning problems. These problems are commonly addressed by the Optimal Control Problems whose numerical solutions are quite challenging. This the sis presents a study on mathematical background relating to Optimal Control Problems and methods to solve Minimum-lap-time problems. For the purpose, direct collocation methods were considered in order to transform the optimal control problem into a Nonlinear Programming Problem. The specific methods employed for direct collocation included Legendre-Gauss, Legendre-Gauss-Lobatto and Legendre-Gauss Radau, where Legendre-Gauss and Legendre-Gauss-Radau methods were compared in terms of their performance in solving the time-optimal control problem for vehicle trajectory planning. The results ob tained from each method were analyzed, providing insights into the differences in terms of computational time, number of iterations it takes for the Optimal Control Problem to find an optimal solution (when the solutions converge) and the overall error.