O plano Hiperbólico

Abstract

As tentativas de demonstração do quinto postulado de Euclides originaram a maior e mais temida descoberta para a geometria Euclidiana do século XIX. Iniciava-se o percurso de procura de outras geometrias não-euclidianas que apresentavam igual consistência, tais como a Geometria Hiperbólica. Nesta geometria não se verifica o quinto postulado de Euclides na medida em que, por um ponto exterior a uma recta, existem infinitas rectas paralelas à recta dada, mas todos os outros axiomas são válidos. Esta dissertação demonstra a consistência da Geometria Hiperbólica, utilizando o modelo do Disco de Poincaré, através do sistema axiomático modificado de Hilbert. O estudo das isometrias neste modelo, em analogia às isometrias existentes na geometria euclidiana, culminam com a apresentação de um método que permitirá pavimentar o Disco de Poincaré à semelhança do que fez M. C. Escher no seu Circle Limit III. Utilizando as novas tecnologias, foram construídas algumas ferramentas em ambiente de geometria dinâmica, Geogebra, que facilitaram a construção de vários objectos geométricos próprios da geometria Hiperbólica, transformações geométricas e pavimentações do Disco de Poincaré.

The attempts to demonstrate the fifth postulate of Euclid originated the largest and most dreaded discovery for the Euclidean geometry of the 19th century. The journey to find other non-Euclidean geometries with equal consistency, such as hyperbolic geometry, was starting. In this geometry Euclides fifth postulate is not valid, there are endless straights parallels to the given line. All other postulates are valid to the line given. This thesis demonstrates the consistency of Hyperbolic Geometry using the Poincaré Disk model by modified Hilbert’s axiomatic system. The study of isometries in this model, in analogy to isometries existing in Euclidean geometry, culminate with the presentation of a method that will pave the Poincaré Disk as did M.C. Escher in his Circle Limit III. Using new technologies, some tools were built in dynamic geometry environment, Geogebra, which facilitated the construction of several geometric objects themselves of hyperbolic geometry, geometric transformations and pavings of the Poincaré Disc.