Estabilidade do problema de três corpos restrito

Abstract

É apresentado neste trabalho um estudo analítico e numético da estabilidadde de soluções de equilibrio hiperbólicas e elípticas de um sistema dinâmico. Newtoniano não-linear. Este estudo é aplicado ao problema de três corpos restrito no plano, que é um sistema Hamiltoniano com dois graus de liberdade e tem no referencial sinôdico cinco pontos de equuilíbrio: três pontos colineares e dois pontos triangulares. Os pontos triangulares, dependendo da razão entre as massas de dois corpos, podem ser classificados como pontos elípticos ou como pontos hiperbólicos. A estabilidade dos pontos de equilíbrio elípticos é estudada através da aplicação de teoremas gerais de sistemas Hamiltonianos não-lineares com dois graus de liberdade, nomeadamente do Teorema de Birkhoff e do Teorema de Arnold-Moser e a instabilidade dos pontos de equilíbrio hiperbólicos e dos pontos de quilíbrio colineares é estudada através da aplicação de teoremas gerais de equações diferenciais ordinárias não-lineares. O problema de três corpos restrito não é , em geral, integrável sendo, portanto apresentado um estudo numérico das suas órbitas através da análise de excentricidade, de secções de Poincaré e do máximo expoente de Lyapunov. Estes métodos são aplicados ao estudo de possívies órbitas de asteróides, na vizinhança de pontos de equilíbrio do sistema Sol-Júpiter, e ao estudo da órbita de Polydeuces do sistema Saturno-Dione.

Here is presented an analytic study on the stability of hyperbolic and equilibrium of a anon-linear dynamical system. This study is applied to the, planar, restricted three-body problem, which is an Hamiltonian system with two degrees of fredom and has, on the synodic system five equilibrium points: three colinear points and two triangular points. The triangular points can be hyperbolic or elliptical,depending on the mass ratio betwee the two morw massive bodies. The stability of the elliptical points is studied by applying the general theorems from the non-linear Hamiltonian sustems with two degrees of fredom, namely the Birkhoff theorem and the Arnold-Moser theorem. The hyperbolic and colinear points instability results from general theorems of non-linear ordinary differential equations. The restricted three body problem is non-integrable, in general. As such, a numerical study of its orbits is presented, throgh the analysis of the eccentricity, the Poincaré sections and the Lyapunov exponents. These methods are applied to the study of asteroids orbits, in the vicinity of equilibrium points of Sun-Jupiter system and, to the study of Polydeuces orbit of the Saturn-Dionne system.