Contributions to spatial and temporal modelling

Abstract

Recent technological advances allow the collection of data in space and time in a wide range of contexts such as environmental and health sciences. Most of these data are generated by monitoring processes and present spatial and/or temporal structures. Traditionally spatial and temporal modelling assumes that the locations (in time or space) sampled are either fixed or stochastically independent of the spatial and temporally continuous phenomenon under study. However, it is well-known that, for example, in air pollution studies, typically the monitors are placed near the most likely pollution sources in areas of high population density. In context of medical studies, a patient is usually observed most frequently when he presents a worse clinical condition. In these examples neither are the observations obtained regularly in time/space nor are the observed locations (in time or space) stochastically independent of the phenomenon under study. Ignoring this dependence can lead to biased estimates and misleading inferences. In this work, we consider the problem of modelling time series with informative observation times. We introduce the concept of Preferential Sampling in the temporal dimension and we discuss alternative model-based approaches to make inference and prediction under stochastic sampling schemes. In the first approach, we present a model to deal with irregularly spaced time series in which the sampling design depends on the contemporaneous value of the underlying process, under the assumption of a Gaussian response variable. For this model, we present two estimation methods, one based on Monte Carlo simulations and the other based on a Laplace approximation. The second approach, proposes a model for irregularly spaced time series in which the sampling design depends on all past history of the observed processes. All discussed model-based approaches are illustrated with numerical studies.

Os recentes avanços tecnológicos permitem a recolha de dados no espaço e no tempo numa grande variedade de contextos, como nas ciências ambientais e da saúde. A maior parte desses dados é gerada por processos de monitorização e apresenta estruturas espaciais e/ou temporais. Tradicionalmente, a modelação espacial e temporal assume que as localizações amostradas (no tempo ou no espaço) são fixas ou estocasticamente independentes do fenómeno espacial e temporal em estudo. No entanto, é bem conhecido que, por exemplo, em estudos de poluição do ar, normalmente as estações de monitorização são colocadas perto das fontes de poluição mais prováveis em áreas de alta densidade populacional. Em estudos médicos, um paciente é geralmente observado com maior frequência quando apresenta pior condição clínica. Nestes exemplos, nem as observações são obtidas de forma regular no tempo/espaço, nem as localizações das observações (no tempo ou no espaço) são estocasticamente independentes do processo em estudo. Ignorar essa dependência pode levar a estimativas tendenciosas e inferências enganosas. Neste trabalho, consideramos o problema de modelar séries temporais com tempos de observação informativos. Introduzimos o conceito de Amostragem Preferencial na dimensão temporal e discutimos diferentes abordagens baseadas em modelos para fazer inferência e previsão debaixo deste esquema de amostragem. Numa primeira abordagem, apresentamos um modelo para lidar com séries temporais irregularmente espaçadas em que o desenho amostral depende do valor contemporâneo do processo subjacente, sob a hipótese de uma variável de resposta Gaussiana. Para este modelo, apresentamos dois métodos de estimação, um baseado em simulações de Monte Carlo e outro baseado numa aproximação de Laplace. Na segunda abordagem, propomos um modelo para séries temporais irregularmente espaçadas, nas quais o desenho amostral depende de toda a história passada dos processos observados. Os modelos propostos são ilustrados com estudos numéricos.