Semigrupos de tranformações (lineares) com um conjunto invariante

Abstract

O estudo da teoria de semigrupos é significativamente facilitado pelo desenvolvimento da teoria de semigrupos de transformações, uma vez que se sabe que todo o semigrupo pode ser mergulhado num semigrupo de transformações. Nesta dissertação, apresentamos e analisamos os resultados de quatro semigrupos de transformações totais, a saber, 𝑇 ¹𝑋,𝑌º, 𝑆 ¹𝑋,𝑌º, 𝑇 ¹𝑉,𝑊º e 𝑆 ¹𝑉,𝑊º. Em cada um desses semigrupos, identificamos os elementos regulares, caracterizamos as relações de Green e, em alguns casos, examinamos subsemigrupos maximais e ideais. O objetivo principal é consolidar e comparar as diferentes técnicas de demonstração aplicadas a semigrupos de transformações de conjuntos e de espaços vetoriais. Notavelmente, embora muitos dos resultados sejam análogos, as técnicas variam consideravelmente entre esses dois tipos de semigrupos. Assim, esta dissertação contribui para o entendimento aprofundado das estruturas dos semigrupos de transformação e de transformações lineares, compilando resultados essenciais da área e facilitando o avanço dos estudos nesse campo. Além disso, explora as semelhanças e contrastes entre as técnicas de demonstração utilizadas em cada uma dessas áreas.

The theory of semigroups is significantly facilitated by the development of the theory of semigroups of transformations, since it is known that every semigroup can be embedded in a semigroup of transformations. In this paper, we present and analyze the results of four semigroups of total transformation, namely 𝑇 ¹𝑋,𝑌º, 𝑆 ¹𝑋,𝑌º, 𝑇 ¹𝑉,𝑊º and 𝑆 ¹𝑉,𝑊º. In each of these semigroups, we identify regular elements, characterize Green’s relations and, in some cases, examine maximal subsemigroups and ideals. The primary objective is to consolidate and compare the different proof techniques applied to semigroups of transformation of sets and vector spaces. Notably, although many results are analogous, the techniques vary considerably between these two types of semigroup. Thus, this dissertation contributes to a deeper understanding of the structures of transformation semigroups and of linear transformation semigroups, compiling essential results in the field and facilitating further study in this area. In addition, it explores the similarities and contrasts between the proof techniques used in each of these areas.